Annuiteettimatematiikka — mistä kuukausierä syntyy

Mikä on annuiteetti?

Annuiteetti on sarja yhtä suuria maksuja tasaisin väliajoin. Kun otat asuntolainan tasaerällä, jokainen kuukausimaksu on yhtä suuri — mutta sen sisällä korkojen ja lyhennyksen osuus muuttuu.

Mutta miten tuo tasaerä lasketaan? Kaavan taustalla on geometrinen sarja.

Johtaminen geometrisesta sarjasta

Olkoon $P$ lainan pääoma, $r$ kausikorko (esim. kuukausikorko) ja $n$ maksujen lukumäärä. Kuukausierä on $M$.

Lainan ehto: kaikkien tulevien maksujen nykyarvo on yhtä suuri kuin lainan pääoma.

$$P = \frac{M}{(1+r)} + \frac{M}{(1+r)^2} + \frac{M}{(1+r)^3} + \cdots + \frac{M}{(1+r)^n}$$

Tämä on geometrinen sarja. Otetaan $M$ yhteiseksi tekijäksi:

$$P = M \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+r)^k}$$

Geometrisen sarjan summakaavalla $\sum_{k=1}^{n} x^k = x \cdot \frac{1 - x^n}{1 - x}$, missä $x = \frac{1}{1+r}$:

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1+r)^k} = \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} = \frac{(1+r)^n - 1}{r \cdot (1+r)^n}$$

Tätä kutsutaan annuiteettitekijäksi. Ratkaisemalla $M$:

$$\boxed{M = P \cdot \frac{r \cdot (1+r)^n}{(1+r)^n - 1}}$$

Tämä on annuiteettikaava — yksi rahoitusmatematiikan tärkeimmistä kaavoista.

Kaavan tulkinta

Kaavassa on kolme muuttujaa:

• $P$ — lainan pääoma (mitä suurempi, sitä suurempi erä)
• $r$ — kausikorko (mitä suurempi, sitä suurempi erä)
• $n$ — maksujen määrä (mitä enemmän, sitä pienempi erä — mutta kokonaiskustannus kasvaa)

Huomaa, että kaavassa käytetään kausikorkoa. Jos vuosikorko on 4,8 % ja maksu on kuukausittain:

$$r = \frac{0{,}048}{12} = 0{,}004$$

Kokeile annuiteettilaskuria

Syötä lainan tiedot ja tutki, miten kuukausierä muuttuu. Huomaa erityisesti, miten korkojen ja lyhennysten suhde muuttuu laina-ajan kuluessa.

Lainan määrä

€

Vuosikorko

%

Laina-aika

v

Kuukausierä 1 056 €

Maksettu yhteensä 316 702 €

Korot yhteensä 116 702 €

Korot / laina 58.4 %

Vuosittainen jakautuminen: korko vs. lyhennys

Ensimmäisenä vuonna koroista maksetaan 7 913 € ja lyhennyksiä 4 755 €. Viimeisenä vuonna korot ovat enää 270 €.

Miksi korot painottuvat alkuun?

Jokaisessa maksuerässä korko lasketaan jäljellä olevasta pääomasta. Lainan alussa pääomaa on paljon, joten korko-osuus on suuri ja lyhennys pieni. Laina-ajan edetessä pääoma pienenee, korko-osuus laskee ja lyhennys kasvaa.

Ensimmäisen maksun korko-osuus:

$$\text{Korko}_1 = P \cdot r$$

Ensimmäisen maksun lyhennys:

$$\text{Lyhennys}_1 = M - P \cdot r$$

Viimeisen maksun korko-osuus on hyvin pieni, koska jäljellä oleva pääoma on lähes nolla.

Käänteinen ongelma: kuinka paljon voit lainata?

Jos tiedät kuukausierän jonka pystyt maksamaan, voit ratkaista pääoman:

$$P = M \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r \cdot (1+r)^n}$$

Esimerkki: voit maksaa 1 200 €/kk, korko 4 %, laina-aika 25 vuotta.

$$r = \frac{0{,}04}{12} \approx 0{,}00333, \quad n = 300$$ $$P = 1\,200 \times \frac{(1{,}00333)^{300} - 1}{0{,}00333 \times (1{,}00333)^{300}} \approx 227\,600 \text{ €}$$

Tämä on lainamäärän yläraja annetuilla ehdoilla.